Олимпиадные задачи из источника «7,8 класс, 2 тур» - сложность 2 с решениями

Автобусная сеть города устроена следующим образом:

  1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;

  2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;

  3) на каждом маршруте ровно три остановки.

Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

На сторонах угла<i>AOB</i>от вершины<i>O</i>отложены отрезки<i>OA</i>и<i>OB</i>, причем<i>OA</i>><i>OB</i>. На отрезке<i>OA</i>взята точка<i>M</i>, на продолжении отрезка<i>OB</i>— точка<i>N</i>так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>=<i>x</i>. Найти значение<i>x</i>, при котором отрезок<i>MN</i>имеет наименьшую длину.

В шахматном турнире участвовали два ученика 7 класса и некоторое число учеников 8 класса. Два семиклассника набрали 8 очков, а каждый из восьмиклассников набрал одно и то же число очков. Сколько восьмиклассников участвовало в турнире? (Каждый из участников турнира играет с каждым из остальных по одной партии. За выигрыш даётся 1 очко, за ничью – ½ очка, за проигрыш – 0 очков.)