Олимпиадные задачи из источника «1946 год» для 9 класса - сложность 3-5 с решениями

Дан ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ..., в котором каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. Найдётся ли среди первых  10⁸+ 1  членов этого ряда число, оканчивающееся четырьмя нулями?

Из тридцати пунктов<i>A</i>₁,<i>A</i>₂, ...,<i>A</i>₃₀, расположенных на прямой<i>MN</i>на равных расстояниях друг от друга, выходят тридцать прямых дорог. Эти дороги располагаются по одну сторону от прямой<i>MN</i>и образуют с<i>MN</i>следующие углы:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">1</td> <td align="LEFT">2</td> <td align="LEFT">3</td> <td align="LEFT">4</td> <td align="LEFT">5</td> <td align="LEFT">6</td>...

Докажите, что выражение  <i>x</i>⁵ + 3<i>x</i>⁴<i>y</i> – 5<i>x</i>³<i>y</i>² – 15<i>x</i>²<i>y</i>³ + 4<i>xy</i>⁴ + 12<i>y</i>⁵  не равно 33 ни при каких целых значениях <i>x</i> и <i>y</i>.