Олимпиадные задачи из источника «1947 год» для 1-8 класса - сложность 3 с решениями

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрали одно число, меньшее 16, и ещё 99 чисел.

Докажите, что среди выбранных чисел найдeтся два таких, одно из которых делится на другое.

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 199, 200 произвольно выбрали сто одно число.

Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

Дан выпуклый пятиугольник<i>ABCDE</i>. Сторонами, противоположными вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, мы называем соответственно отрезки<i>CD</i>,<i>DE</i>,<i>EA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>. Докажите, что если произвольную точку<i>M</i>, лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.