Олимпиадные задачи из источника «1947 год» для 2-11 класса - сложность 3 с решениями
Внутри квадрата<i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>4</sub>лежит выпуклый четырёхугольник<i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>8</sub>. Внутри<i>A</i><sub>5</sub><i>A</i><sub>6</sub><i>A</i><sub>7</sub><i>A</i><sub>8</sub>выбрана точка<i>A</i><sub>9</sub>. Никакие три из этих девяти точек не лежат на одной прямой. Докажите, что можно выбрать из них 5 точек, расположенных в вершинах выпуклого пятиугольника.
Из двухсот чисел: 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрали одно число, меньшее 16, и ещё 99 чисел.
Докажите, что среди выбранных чисел найдeтся два таких, одно из которых делится на другое.
Из двухсот чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 199, 200 произвольно выбрали сто одно число.
Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.
Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до 0,00001) произведение: <img align="MIDDLE" src="/storage/problem-media/76542/problem_76542_img_2.gif">
Дан выпуклый пятиугольник<i>ABCDE</i>. Сторонами, противоположными вершинам<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>,<i>E</i>, мы называем соответственно отрезки<i>CD</i>,<i>DE</i>,<i>EA</i>,<i>AB</i>,<i>BC</i>. Докажите, что если произвольную точку<i>M</i>, лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.