Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 1 тур»

Найти все решения системы уравнений   <i>x</i>(1 – 2^–<i>n</i>) + <i>y</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–1}) + <i>z</i>(1 – 2^{–<i>n</i>–2}) = 0,   где  <i>n</i> = 1, 2, 3, 4, ...

Из произвольной внутренней точки<i>O</i>выпуклого<i>n</i>-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки<i>O</i>по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму построенных векторов.

Из квадрата размером 3 на 3 вырезать одну фигуру, которая представляет развёртку полной поверхности куба, длина ребра которого равна 1.

Существуют ли целые числа <i>m</i> и <i>n</i>, удовлетворяющие уравнению  <i>m</i>² + 1954 = <i>n</i>²?

Определить четырёхзначное число, если деление этого числа на однозначное производится по следующей схеме:<div align="CENTER"> <table> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="RIGHT"> ×</td> <td align="LEFT"> </td> </tr> <tr valign="MIDDLE"><td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT">×</td> <td align="LEFT"> </td> <td align="LEFT"> </td> <td...