Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 5-8 класса - сложность 1-4 с решениями
8 класс, 2 тур
НазадДано число <i>H</i> = 2·3·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37 (произведение простых чисел). Пусть 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, ..., <i>H</i> – все его делители, выписанные в порядке возрастания. Под рядом делителей выпишем ряд из единиц и минус единиц по следующему правилу: под единицей 1, под числом, которое разлагается на чётное число простых сомножителей, 1, и под числом, которое разлагается на нечётное число простых сомножителей, –1. Доказать, что сумма чисел полученного ряда равна 0.
Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках <i>A, B, C, D</i>, что <i>AB = CD, AD = BC</i> и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в <i>A</i> и <i>C</i>, равна сумме чисел в клетках с центрами <i>B</i> и <i>D</i>.
Решить систему: 10<i>x</i><sub>1</sub> + 3<i>x</i><sub>2</sub> + 4<i>x</i><sub>3</sub> + <i>x</i><sub>4</sub> + <i>x</i><sub>5</sub> = 0, 11<i>x</i><sub>2</sub> + 2<i>x</i><sub>3</sub> + 2<i>x</i><sub>4</sub> + 3<i>x</i><sub>5</sub> + <i>x</i><sub>6</sub> = 0, 15<i>x</i><sub>3</sub> + 4<i>x</i><sub>4</sub> + 5<i>x</i><sub>5</sub> + 4<i>x</i><sub>6</sub> + <i>x</i><sub>7</sub> = 0, 2<i>x</i><sub>1&...