Олимпиадные задачи из источника «1954 год» для 11 класса - сложность 3-4 с решениями

Сто положительных чисел <i>C</i>₁, <i>C</i>₂, ..., <i>C</i>₁₀₀ удовлетворяют условиям   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78018/problem_78018_img_2.gif">

Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Даны четыре прямые<i>m</i>₁,<i>m</i>₂,<i>m</i>₃,<i>m</i>₄, пересекающиеся в одной точке<i>O</i>. Через произвольную точку<i>A</i>₁прямой<i>m</i>₁проводим прямую, параллельную прямой<i>m</i>₄, до пересечения с прямой<i>m</i>₂в точке<i>A</i>₂, через<i>A</i>₂проводим прямую, параллельную<i>m</i>₁, до пересечения с<i>m</i>₃в точке<i>A</i><sub>3</sub...

Существуют ли в пространстве четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>такие, что<i>AB</i>=<i>CD</i>= 8 см,<i>AC</i>=<i>BD</i>= 10 см,<i>AD</i>=<i>BC</i>= 13 см?

Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть<i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁— точки пересечения прямых<i>AS</i>,<i>BS</i>,<i>CS</i>соответственно со сторонами<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>треугольника, где<i>S</i>— произвольная внутренняя точка треугольника<i>ABC</i>. Доказать, что, по крайней мере, в одном из полученных четырёхугольников<i>AB</i>₁<i>SC</i>₁,<i>C</i>₁<i>SA</i>₁<i>B</i>,<i>A</i>₁<i>SB</i&...