Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» для 3-11 класса - сложность 2-3 с решениями

Дан$\Delta$<i>ABC</i>и точка<i>D</i>внутри него, причем<i>AC</i>-<i>DA</i>> 1 и<i>BC</i>-<i>BD</i>> 1. Берётся произвольная точка<i>E</i>внутри отрезка<i>AB</i>. Доказать, что<i>EC</i>-<i>ED</i>> 1.

<i>p</i> простых чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a_p</i> образуют возрастающую арифметическую прогрессию и  <i>a</i>₁ > <i>p</i>.

Доказать, что если <i>p</i> – простое число, то разность прогрессии делится на <i>p</i>.

Найти все действительные решения системы

   <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 1,

   <i>x</i>⁴ + <i>y</i>⁴ = 1.

Найти геометрическое место середин отрезков с концами на двух различных непересекающихся окружностях, лежащих одна вне другой.

Числа 1, 2, ..., <i>k</i>² расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78034/problem_78034_img_2.gif"></div>Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (<i>k</i>– 1)²  чисел и т.д.<i>k</i>раз. Найти сумму выписанных чисел.