Олимпиадные задачи из источника «1955 год» для 8-9 класса - сложность 2 с решениями
Доказать, что если <sup><i>p</i></sup>/<sub><i>q</i></sub> – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома <i>f</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, то <i>p – kq</i> есть делитель числа <i>f</i>(<i>k</i>) при любом целом <i>k</i>.
Дано уравнение <i>x<sup>n</sup> – a</i><sub>1</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–1</sup> – <i>a</i><sub>2</sub><i>x</i><sup><i>n</i>–2</sup> – ... – <i>a</i><sub><i>n</i>–1</sub><i>x – a<sub>n</sub></i> = 0, где <i>a</i><sub>1</sub> ≥ 0, <i>a</i><sub>2</sub> ≥ 0, <i>a<sub>n</sub></i> ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.
Точка <i>O</i> лежит внутри выпуклого <i>n</i>-угольника <i>A</i><sub>1</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> и соединена отрезками с вершинами. Стороны <i>n</i>-угольника нумеруются числами от 1 до <i>n</i>, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками <i>OA</i><sub>1</sub>, ..., <i>OA<sub>n</sub></i>.
а) При <i>n</i> = 9 найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников <i>A</i><sub>1</sub><i>OA</i><sub>2</sub>, ..., <i>A<sub>n</sub></i><i>OA</i><sub>1</sub> одинакова.
б) Доказать, чт...
Дан$\Delta$<i>ABC</i>. Центры вневписанных окружностей<i>O</i><sub>1</sub>,<i>O</i><sub>2</sub>и<i>O</i><sub>3</sub>соединены прямыми. Доказать, что$\Delta$<i>O</i><sub>1</sub><i>O</i><sub>2</sub><i>O</i><sub>3</sub>— остроугольный.
Решить в целых числах уравнение <i>x</i>³ – 2<i>y</i>³ – 4<i>z</i>³ = 0.
Найти все действительные решения системы
<i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 1,
<i>x</i><sup>4</sup> + <i>y</i><sup>4</sup> = 1.
На окружности даны четыре точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>,<i>D</i><sub>1</sub>. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что<i>A</i><sub>1</sub>,<i>B</i><sub>1</sub>,<i>C</i><sub>1</sub>,<i>D</i><sub>1</sub>лежат на одной окружности.
Какие выпуклые фигуры могут содержать прямую?
Квадратная таблица из 49 клеток заполнена числами от 1 до 7 так, что в каждом столбце и в каждой строке встречаются все эти числа. Докажите, что если таблица симметрична относительно диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний, то на этой диагонали встречаются все эти числа.
Дан четырехугольник<i>ABCD</i>. На стороне<i>AB</i>взята точка<i>K</i>, на стороне<i>BC</i>&8212; точка<i>L</i>, на стороне<i>CD</i>— точка<i>M</i>и на стороне<i>AD</i>— точка<i>N</i>, так, что<i>KB</i>=<i>BL</i>=<i>a</i>,<i>MD</i>=<i>DN</i>=<i>b</i>. Пусть<i>KL</i>$\nparallel$<i>MN</i>. Найти геометрическое место точек пересечения прямых<i>KL</i>и<i>MN</i>при изменении<i>a</i>и<i>b</i>.
2<sup><i>n</i></sup> = 10<i>a + b</i>. Доказать, что если <i>n</i> > 3, то <i>ab</i> делится на 6. (<i>n, a</i> и <i>b</i> – целые числа, <i>b</i> < 10.)
Числа 1, 2, ..., 49 расположены в квадратную таблицу <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78024/problem_78024_img_2.gif"></div>Произвольное число из таблицы выписывается, после чего из таблицы вычёркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей и т.д., всего 7 раз. Найти сумму выписанных чисел.
Существует ли такое натуральное <i>n</i>, что <i>n</i>² + <i>n</i> + 1 делится на 1955?