Олимпиадные задачи из источника «1956 год» для 11 класса

На продолжениях сторон <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, ..., <i>A_nA</i>₁ правильного <i>n</i>-угольника (<i>n</i> ≥ 5) <i>A</i>₁<i>A</i>₂...<i>A_n</i> построить точки <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, ..., <i>B_n</i> так, чтобы <i>B</i>₁<i>B</i>₂ было перпендикулярно к <i>A</i><sub>1&lt...

Докажите, что если в треугольной пирамиде любые два трехгранных угла равны или симметричны, то все грани этой пирамиды равны.

Подряд выписаны<i>n</i>чисел, среди которых есть положительные и отрицательные. Подчеркивается каждое положительное число, а также каждое число, сумма которого с несколькими непосредственно следующими за ним числами положительна. Докажите, что сумма всех подчеркнутых чисел положительна.

На клетчатой бумаге выбраны три точки<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник<i>ABC</i>остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

Четырёхугольник описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие соседние точки касания и не пересекающиеся в одной из этих точек, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей.

Взяли три числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>. Вычислили абсолютные величины попарных разностей<i>x</i>₁ = |<i>x</i> - <i>y</i>|,<i>y</i>₁= |<i>y</i>-<i>z</i>|,<i>z</i>₁= |<i>z</i>-<i>x</i>|. Тем же способом по числам<i>x</i>₁,<i>y</i>₁,<i>z</i>₁построили числа<i>x</i>₂,<i>y</i>₂,<i>z</i>₂и т.д. Оказалось, что при некотором<i>n</i><i>x</i><sub>n<...

В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников, площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.

Докажите, что система уравнений     <i>x</i>₁ – <i>x</i>₂ = <i>a</i>,     <i>x</i>₃ – <i>x</i>₄ = <i>b</i>,     <i>x</i>₁ + <i>x</i>₂ + <i>x</i>₃ + <i>x</i>₄ = 1 имеет хотя бы одно положительное решение тогда и только тогда, когда  |<i>a</i>| + |<i>b</i>| < 1.

Дана замкнутая пространственная ломаная. Некоторая плоскость пересекает все её звенья:<i>A</i>₁<i>A</i>₂в точке<i>B</i>₁,<i>A</i>₂<i>A</i>₃— в точке<i>B</i>₂, ...,<i>A</i>_n<i>A</i>₁-- в точке<i>B</i>_n. Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{A_1B_1}{B_1A_2}}$$\displaystyle {\frac{A_2B_2}{B_2A_3}}$...$\displaystyle {\frac{A_nB_n}{B_nA_1}}$ = 1. </div>

В десятичной записи положительного числа α отброшены все десятичные знаки, начиная с пятого знака после запятой (то есть взято приближение α с недостатком с точностью до 0,0001). Полученное число делится на α и частное снова округляется с недостатком с той же точностью. Какие числа при этом могут получиться?

В треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины — на боковых сторонах треугольника. Доказать, что сторона квадрата меньше 2<i>r</i>, но больше$\sqrt{2}$<i>r</i>, где<i>r</i>— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Даны положительные числа<i>h</i>,<i>s</i>₁,<i>s</i>₂и расположенный в пространстве треугольник<i>ABC</i>. Сколькими способами можно выбрать точку<i>D</i>так, чтобы в тетраэдре<i>ABCD</i>высота, опущенная из вершины<i>D</i>, была равна<i>h</i>, а площади граней<i>ACD</i>и<i>BCD</i>соответственно<i>s</i>₁и<i>s</i>₂(исследовать все возможные случаи)?

В выпуклом четырехугольнике<i>ABCD</i>взят четырехугольник<i>KLMN</i>, образованный центрами тяжести треугольников<i>ABC</i>,<i>BCD</i>,<i>DBA</i>и<i>CDA</i>. Доказать, что прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>ABCD</i>, пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника<i>KLMN</i>.

Пусть <i>a, b, c, d, l</i> – целые числа. Докажите, что если дробь   <img width="34" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78068/problem_78068_img_2.gif">  сократима на число <i>k</i>, то  <i>ad – bc</i>  делится на <i>k</i>.