Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур»

В неравносторонний треугольник вписана окружность, точки касания которой со сторонами приняты за вершины второго треугольника. В этот второй треугольник снова вписана окружность, точки касания которой являются вершинами третьего треугольника; в него вписана третья окружность и т.д. Докажите, что в образовавшейся последовательности треугольников нет двух подобных.

Найти все действительные решения системы уравнений   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/78118/problem_78118_img_2.gif">

Внутри равностороннего треугольника<i>ABC</i>находится точка<i>O</i>. Прямая<i>OG</i>, соединяющая<i>O</i>с центром тяжести (точкой пересечения медиан)<i>G</i>треугольника, пересекает стороны треугольника (или их продолжения) в точках<i>A'</i>,<i>B'</i>,<i>C'</i>. Доказать, что<div align="CENTER"> <img width="37" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/problem_78117_img_2.gif" alt="$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$"> + <img width="38" height="53" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78117/proble...

Доказать, что число всех цифр в последовательности1, 2, 3,..., 10⁸равно числу всех нулей в последовательности1, 2, 3,..., 10⁹.

В треугольнике известны две стороны<i>a</i>и<i>b</i>. Какой должна быть третья сторона, чтобы наименьший угол треугольника имел наибольшую величину?