Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур»

Дана следующая треугольная таблица чисел: <div align="center"><img src="/storage/problem-media/78134/problem_78134_img_2.gif"></div>Каждое число (кроме чисел верхней строчки) равно сумме двух ближайших чисел предыдущей строчки. Доказать, что число, стоящее в самой нижней строчке, делится на 1958.

На плоскости даны точки<i>A</i>и<i>B</i>. Построить такой квадрат, чтобы точки<i>A</i>и<i>B</i>лежали на его границе и сумма расстояний от точки<i>A</i>до вершин квадрата была наименьшей.

Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?

В круге проведены два диаметра<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что если<i>M</i>— произвольная точка окружности, а<i>P</i>и<i>Q</i>— её проекции на диаметры<i>AB</i>и<i>CD</i>, то длина отрезка<i>PQ</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>.

Имеется система уравнений     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.

Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.