Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 7-9 класса - сложность 2 с решениями

На плоскости даны точки<i>A</i>и<i>B</i>. Построить такой квадрат, чтобы точки<i>A</i>и<i>B</i>лежали на его границе и сумма расстояний от точки<i>A</i>до вершин квадрата была наименьшей.

Сколько существует четырёхзначных номеров (от 0001 до 9999), у которых сумма двух первых цифр равна сумме двух последних цифр?

В круге проведены два диаметра<i>AB</i>и<i>CD</i>. Доказать, что если<i>M</i>— произвольная точка окружности, а<i>P</i>и<i>Q</i>— её проекции на диаметры<i>AB</i>и<i>CD</i>, то длина отрезка<i>PQ</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>.

Имеется система уравнений     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0,     *<i>x + *y + *z</i>= 0.Два человека поочерёдно вписывают вместо звёздочек числа.

Доказать, что начинающий всегда может добиться того, чтобы система имела ненулевое решение.