Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 1 тур» - сложность 3-5 с решениями
9 класс, 1 тур
НазадОтрезок длиной 3<sup>n</sup>разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого<i>k</i>(1$\le$<i>k</i>$\le$3<sup>n</sup>) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно<i>k</i>.
Какое наибольшее число осей симметрии может иметь пространственная фигура, состоящая из трёх прямых, из которых никакие две не параллельны и не совпадают?
Бесконечная плоская ломаная<i>A</i><sub>0</sub><i>A</i><sub>1</sub>...<i>A</i><sub>n</sub>..., все углы которой прямые, начинается в точке<i>A</i><sub>0</sub>с координатами<i>x</i>= 0,<i>y</i>= 1 и обходит начало координат<i>O</i>по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние<i>OA</i><sub>n</sub>=<i>l</i><sub>n</sub>. Сумма длин первых<i>n</i>звеньев ломаной равна<i>s</i><sub>n</sub>. До...