Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур» - сложность 1-3 с решениями

Два концентрических круга поделены на 2<i>k</i>равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.

Даны<i>n</i>комплексных чисел<i>C</i>₁,<i>C</i>₂,...,<i>C</i>_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого<i>n</i>-угольника. Доказать, что если комплексное число<i>z</i>обладает тем свойством, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0, </div>то точка плоскости, соответствующая<i>z</i>, лежит внутри этого<i>n</i>-угольника.

Пусть<i>ABCD</i>— пространственный четырёхугольник, точки<i>K</i>₁и<i>K</i>₂делят соответственно стороны<i>AB</i>и<i>DC</i>в отношении$\alpha$, точки<i>K</i>₃и<i>K</i>₄делят соответственно стороны<i>BC</i>и<i>AD</i>в отношении$\beta$. Доказать, что отрезки<i>K</i>₁<i>K</i>₂и<i>K</i>₃<i>K</i>₄пересекаются.

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.