Олимпиадные задачи из источника «9 класс, 2 тур»

Коля и Петя делят 2<i>n</i>+ 1 орехов,<i>n</i>$\ge$2, причём каждый хочет получать возможно больше. Предполагаются три способа дележа (каждый проходит в три этапа).

1-й этап: Петя делит все орехи на две части, в каждой не меньше двух орехов.

2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.

1-й и 2-й этапы общие для всех трёх способов.

3-й этап: При первом способе Коля берёт большую и меньшую части;

При втором способе Коля берёт обе средние части;

При третьем способе Коля берёт либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдаёт Пете один орех.

Определить, какой способ самый выгодный для Коли и какой наименее выгоден для него.

<i>a, b, p</i> – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые <i>k, l</i>, что  <i>ak + bl</i>  делится на <i>p</i>.

<i>n</i> точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.

Доказать, что общее число отрезков равно  <i>n</i> – 1.

В клетки таблицы <i>m×n</i> вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям<i>O</i>₁и<i>O</i>₂соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина<i>C</i>правильного треугольника<i>ABC</i>также движется равномерно по некоторой окружности.