Олимпиадные задачи из источника «1961 год» для 10-11 класса - сложность 2 с решениями

<i>n</i> точек соединены отрезками так, что каждая точка с чем-нибудь соединена и нет таких двух точек, которые соединялись бы двумя разными путями.

Доказать, что общее число отрезков равно  <i>n</i> – 1.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>движутся равномерно и с равными угловыми скоростями по окружностям<i>O</i>₁и<i>O</i>₂соответственно (по часовой стрелке). Доказать, что вершина<i>C</i>правильного треугольника<i>ABC</i>также движется равномерно по некоторой окружности.

С центрами в вершинах прямоугольника построены четыре окружности с радиусами<i>r</i>₁,<i>r</i>₂,<i>r</i>₃,<i>r</i>₄, причём<i>r</i>₁+<i>r</i>₃=<i>r</i>₂+<i>r</i>₄<<i>d</i>;<i>d</i>— диагональ прямоугольника. Проводятся две пары внешних касательных к окружностям 1, 3 и 2, 4. Доказать, что в четырёхугольник, образованный этими четырьмя прямыми, можно вписать окружность.

Известно, что<i>Z</i>₁+ ... +<i>Z</i>_n= 0, где<i>Z</i>_k— комплексные числа. Доказать, что среди этих чисел найдутся два таких, что разность их аргументов больше или равна120^<tt>o</tt>.

Дана последовательность чисел <i>F</i>₁, <i>F</i>₂, ...;  <i>F</i>₁ = <i>F</i>₂ = 1  и   <i>F</i>_<i>n</i>+2 = <i>F_n + F</i>_<i>n</i>+1.  Доказать, что <i>F</i>_5<i>k</i> делится на 5 при  <i>k</i> = 1, 2, ... .

Доказать, что можно так расположить числа от 1 до <i>n</i>² в таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел каждого столбца были равны.

См.<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78240">задачу 3 для 7 класса</a>.

Дан треугольник<i>ABC</i>и точка<i>O</i>.<i>M</i>₁,<i>M</i>₂,<i>M</i>₃— центры тяжести треугольников<i>OAB</i>,<i>OBC</i>,<i>OCA</i>соответственно. Доказать, что площадь треугольника<i>M</i>₁<i>M</i>₂<i>M</i>₃равна 1/9 площади<i>ABC</i>.