Олимпиадные задачи из источника «1961 год» для 2-8 класса - сложность 1-2 с решениями
<i>a, b, p</i> – любые целые числа. Доказать, что найдутся такие взаимно простые <i>k, l</i>, что <i>ak + bl</i> делится на <i>p</i>.
Доказать, что не существует целых чисел <i>a, b, c, d</i>, удовлетворяющих равенствам:
<i>abcd – a</i> = 1961,
<i>abcd – b</i> = 961,
<i>abcd – c</i> = 61,
<i>abcd – d</i> = 1.
Дана ладья, которой разрешается делать ходы только длиной в одну клетку. Доказать, что она может обойти все клетки прямоугольной шахматной доски, побывав на каждой клетке ровно один раз, и вернуться в начальную клетку тогда и только тогда, когда число клеток на доске чётно.
Имеется трёхзначное число <span style="text-decoration: overline;"><i>abc</i></span>, берём <span style="text-decoration: overline;"><i>cba</i></span> и вычтем из большего меньшее. Получим число <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>1</sub><i>c</i><sub>1</sub></span>, сделаем с ним то же самое и т.д.
Доказать, что на каком-то шаге мы получим или число 495, или 0. Случай <i>a</i><sub>1</sub> = 0 допускается.
Доказать, что если <i>n</i> чётно, то числа 1, 2, 3, ..., <i>n</i>² можно таким образом расположить в квадратную таблицу <i>n</i>×<i>n</i>, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом столбце, были одинаковы.