Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 1 тур» для 5-9 класса - сложность 2-3 с решениями

Даны<i>n</i>карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел1, 2,...,<i>n</i>, причём так, что каждое число встречается на всех<i>n</i>карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа:1, 2,...,<i>n</i>.

Сумму цифр числа <i>a</i> обозначим через <i>S</i>(<i>a</i>). Доказать, что если  <i>S</i>(<i>a</i>) = <i>S</i>(2<i>a</i>),  то число <i>a</i> делится на 9.

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.

Дана прямая<i>l</i>, перпендикулярная отрезку<i>AB</i>и пересекающая его. Для любой точки<i>M</i>прямой<i>l</i>строится такая точка<i>N</i>, что$\angle$<i>NAB</i>= 2$\angle$<i>MAB</i>;$\angle$<i>NBA</i>= 2$\angle$<i>MBA</i>. Доказать, что абсолютная величина разности<i>AN</i>-<i>BN</i>не зависит от выбора точки<i>M</i>на прямой<i>l</i>.