Олимпиадные задачи из источника «1962 год» для 2-9 класса - сложность 3-4 с решениями
В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.
Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.
Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние<i>d</i>= 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.
Две окружности<i>O</i><sub>1</sub>и<i>O</i><sub>2</sub>пересекаются в точках<i>M</i>и<i>P</i>. Обозначим через<i>MA</i>хорду окружности<i>O</i><sub>1</sub>, касающуюся окружности<i>O</i><sub>2</sub>в точке<i>M</i>, а через<i>MB</i>— хорду окружности<i>O</i><sub>2</sub>, касающуюся окружности<i>O</i><sub>1</sub>в точке<i>M</i>. На прямой<i>MP</i>отложен отрезок<i>PH</i>=<i>MP</i>. Доказать, что четырёхугольник<i>MAHB</i>можно вписать в окружность.
Из чисел<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,<i>x</i><sub>3</sub>,<i>x</i><sub>4</sub>,<i>x</i><sub>5</sub>можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>10</sub>. Доказать, что зная числа<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>10</sub>(но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа<i>x</i><sub>1</sub>,<i>x</i><sub>2</sub>,<i>x...
Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a</i><sub>1962</sub>, чтобы сумма |<i>a</i><sub>1</sub> – <i>a</i><sub>2</sub>| + |<i>a</i><sub>2</sub> – <i>a</i><sub>3</sub>| + ... + |<i>a</i><sub>1961</sub> – <i>a</i><sub>1962</sub>| + |<i>a</i><sub>1962</sub> – <i>a</i><sub>1</sub>| была наибольшей?
На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.
<i>ABC</i> – равнобедренный треугольник; <i>AB = BC, BH</i> – высота, <i>M</i> – середина стороны <i>AB, K</i> – точка пересечения <i>BH</i> с описанной окружностью треугольника <i>BMC</i>. Доказать, что <i>BK</i> = <sup>3</sup>/<sub>2</sub> <i>R</i>, где <i>R</i> – радиус описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.
Дана система уравнений:
<img width="20" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_2.gif"><img width="247" height="111" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78282/problem_78282_img_3.gif">
Какие значения может принимать <i>x</i><sub>25</sub>?
Даны два пересекающихся отрезка<i>AС</i>и<i>BD</i>. На этих лучах выбираются точки<i>M</i>и<i>N</i>(соответственно) так, что<i>AM</i>=<i>BN</i>. Найти положение точек<i>M</i>и<i>N</i>, при котором длина отрезка<i>MN</i>минимальна (сравните с<a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=78284">задачей 1 для 10 класса</a>).
На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>,<i>CA</i>правильного треугольника<i>ABC</i>найти такие точки<i>X</i>,<i>Y</i>,<i>Z</i>(соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми<i>CX</i>,<i>BZ</i>,<i>AY</i>, была вчетверо меньше площади треугольника<i>ABC</i>и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$