Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур»

Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>. Найти множество всех таких точек<i>M</i>, что перпендикуляры к прямым<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>, проведённые из точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>(соответственно), пересекаются в одной точке.

<i>a, b, c</i> – такие три числа, что  <i>abc</i> > 0  и  <i>a + b + c</i> > 0.  Доказать, что  <i>aⁿ + bⁿ + cⁿ</i> > 0  при любом натуральном <i>n</i>.

Какое наибольшее число клеток может пересечь прямая, проведённая на листе клетчатой бумаги размером<i>m</i>×<i>n</i>клеток?

Из любых шести точек на плоскости (из которых никакие три не лежат на одной прямой) можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший30^<tt>o</tt>. Доказать.

Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.