Олимпиадные задачи из источника «11 класс, 1 тур» для 7-10 класса - сложность 2-4 с решениями

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.

Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

Положительные числа<i>x</i>,<i>y</i>,<i>z</i>обладают тем свойством, что<div align="CENTER"> <i>arctg</i> <i>x</i> + <i>arctg</i> <i>y</i> + <i>arctg</i> <i>z</i> < $\displaystyle \pi$. </div>Доказать, что сумма этих чисел больше их произведения.

Дан произвольный треугольник<i>ABC</i>. Найти множество всех таких точек<i>M</i>, что перпендикуляры к прямым<i>AM</i>,<i>BM</i>,<i>CM</i>, проведённые из точек<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>(соответственно), пересекаются в одной точке.