Олимпиадные задачи из источника «1964 год» для 11 класса - сложность 3 с решениями

В треугольнике <i>ABC</i> сторона <i>BC</i> равна полусумме двух других сторон. Через точку <i>A</i> и середины <i>B', C'</i> сторон <i>AB</i> и <i>AC</i> проведена окружность Ω и к ней из центра тяжести треугольника проведены касательные. Доказать, что одна из точек касания является центром <i>I</i> вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа <i>n</i> существуют ровно <i>n</i> карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Дана система из<i>n</i>точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

В <i>n</i> мензурок налиты <i>n</i> разных жидкостей, кроме того, имеется одна пустая мензурка. Можно ли за конечное число операций составить равномерные смеси в каждой мензурке, то есть сделать так, чтобы в каждой мензурке было равно ¹/_<i>n</i> от начального количества каждой жидкости, и при этом одна мензурка была бы пустой. (Мензурки одинаковые, но количества жидкостей в них могут быть разными; предполагается, что можно отмерять любой объём жидкости.)

На какое наименьшее число непересекающихся тетраэдров можно разбить куб?