Олимпиадные задачи из источника «11 класс, 1 тур»

Даны двадцать карточек. Каждая из цифр от нуля до девяти включительно написана на двух из этих карточек (на каждой карточке – только одна цифра). Можно ли расположить эти карточки в ряд так, чтобы нули стояли рядом, между единицами лежала ровно одна карточка, между двойками – две, и так далее до девяток, между которыми должно быть девять карточек?

Даны окружность<i>O</i>, точка<i>A</i>, лежащая на ней, перпендикуляр к плоскости окружности<i>O</i>, восставленный из точки<i>A</i>, и точка<i>B</i>, лежащая на этом перпендикуляре. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки<i>A</i>на прямые, проходящие через точку<i>B</i>и произвольную точку окружности<i>O</i>.

В квадратном уравнении  <i>x</i>² + <i>px + q</i>  коэффициенты <i>p, q</i> независимо пробегают все значения от –1 до 1 включительно.

Найти множество значений, которые при этом принимает действительный корень данного уравнения.

На плоскости даны три точки. Построить три окружности, касающиеся друг друга в этих точках. Разобрать все случаи.

Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1. Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке  [–2, 2].