Олимпиадные задачи из источника «11 класс, 2 тур» для 4-11 класса - сложность 3 с решениями

В каждой клетке квадратной таблицы <i>m×m</i> клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше <i>m</i>. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем  ½ <i>m</i>².

Дана плоскость <i>P</i> и две точки <i>A</i> и <i>B</i> по разные стороны от неё. Построить сферу, проходящую через эти точки, высекающую из <i>P</i> наименьший круг.

Докажите, что последние цифры чисел <i>nⁿ</i> (<i>n</i> – натуральное) образуют периодическую последовательность.