Олимпиадные задачи из источника «11 класс, 2 тур» для 6-9 класса - сложность 3-5 с решениями

В каждой клетке квадратной таблицы <i>m×m</i> клеток стоит либо натуральное число, либо нуль. При этом, если на пересечении строки и столбца стоит нуль, то сумма чисел в "кресте", состоящем из этой строки и этого столбца, не меньше <i>m</i>. Докажите, что сумма всех чисел в таблице не меньше чем  ½ <i>m</i>².

Дан многоугольник на плоскости, невыпуклый и несамопересекающийся. Д – множество точек, принадлежащих тем диагоналям многоугольника, которые не вылезают за его пределы (то есть лежат либо целиком внутри, либо частью внутри, частью на контуре). Концы этих диагоналей тоже включаются в Д. Докажите, что любые две точки из Д можно соединить ломаной, целиком принадлежащей Д.

Докажите, что последние цифры чисел <i>nⁿ</i> (<i>n</i> – натуральное) образуют периодическую последовательность.