Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 2-9 класса - сложность 2-5 с решениями

Семь школьников решили за воскресенье обойти семь кинотеатров. Во всех них сеансы начинаются в 9.00, 10.40, 12.20, 14.00, 15.40, 17.20, 19.00 и 20.40 (8 сеансов). На каждый сеанс шестеро шли вместе, а кто-нибудь один (не обязательно один и тот же) шел в другой кинотеатр. К вечеру каждый побывал в каждом кинотеатре. Докажите, что в каждом кинотеатре был сеанс, на котором не был ни один из этих школьников.

На каждой стороне прямоугольного треугольника построено по квадрату (пифагоровы штаны), и вся фигура вписана в круг. Для каких прямоугольных треугольников это можно сделать?

Обозначим через <i>d</i>(<i>N</i>) число делителей <i>N</i> (числа 1 и <i>N</i> также считаются делителями). Найти все такие <i>N</i>, что число  <i>P</i> = <img width="36" height="35" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/78619/problem_78619_img_2.gif">  – простое.

Доказать, что существует число<i>q</i>такое, что в десятичной записи числа<i>q</i>^.2¹⁰⁰⁰нет ни одного нуля.