Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур»

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

С числом123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры<i>a</i>и<i>b</i>(<i>a</i>стоит перед<i>b</i>) и на их место вставляется число<i>a</i>+ 2<i>b</i>(можно в качестве<i>a</i>взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве<i>b</i>— первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно<b>на первом</b>шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.