Олимпиадные задачи из источника «1971 год» для 9 класса - сложность 2-5 с решениями

Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

Дано 29-значное число  <i>X</i> = <span style="text-decoration: overline;"><i>a</i>₁...<i>a</i>₂₉</span>  (0 ≤ <i>a_k</i> ≤ 9,  <i>a</i>₁ ≠ 0).  Известно, что для всякого <i>k</i> цифра <i>a_k</i> встречается в записи данного числа <i>a</i>_{30–<i>k</i>} раз (например, если  <i>a</i>₁₀ = 7,  то цифра <i>a</i>₂₀ встречается семь раз). Найти сумму цифр числа <i>X</i>.

Имеется сетка, состоящая из квадратов размером 1×1. Каждый её узел покрашен в один из четырёх данных цветов так, что вершины любого квадрата 1×1 покрашены в разные цвета. Доказать, что найдётся прямая, принадлежащая сетке, такая, что узлы, лежащие на ней, покрашены в два цвета.

В колбе находится колония из<i>n</i>бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

Лежит кучка в 10 миллионов спичек. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход играющий может взять из кучки спички в количестве <i>pⁿ</i>, где <i>p</i> – простое число,  <i>n</i> = 0, 1, 2, 3, ...  (например, первый берёт 25 спичек, второй – 8, первый – 1, второй – 5, первый – 49 и т.д.). Выигрывает тот, кто берёт последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

<i>n</i>точек расположены в вершинах выпуклого<i>n</i>-угольника. Внутри этого<i>n</i>-угольника отметили<i>k</i>точек. Оказалось, что любые три из<i>n</i>+<i>k</i>точек не лежат на одной прямой и являются вершинами равнобедренного треугольника. Чему может быть равно число<i>k</i>?

Внутри квадрата <!-- MATH $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ --> <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃<i>A</i>₄ взята точка <i>P</i>. Из вершины <i>A</i>₁ опущен перпендикуляр на <i>A</i>₂<i>P</i>, из <i>A</i>₂ — перпендикуляр на <i>A</i>₃<i>P</i>, из <i>A</i>₃ — на <i>A</i>₄<i>P</i>, из <i>A</i>₄ — на <i>A</i>₁<i>P</i>. Докажите...