Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» для 7-8 класса - сложность 3 с решениями
8 класс, 2 тур
НазадНа плоскости проведено 300 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее 100 треугольников.
Пусть <i>K</i>(<i>x</i>) равно числу таких несократимых дробей <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub>, что <i>a < x</i> и <i>b < x</i> (<i>a</i> и <i>b</i> – натуральные числа). Например, <i>K</i>(<sup>5</sup>/<sub>2</sub>) = 3 (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму <i>K</i>(100) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>2</sub>) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>3</sub>) + ... + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>99</sub>) + <i>K</i>(<sup>100</sup>/<sub>100</sub>).
В городе Никитовка двустороннее движение. В течение двух лет в городе проходил ремонт всех дорог. Вследствие этого в первый год на некоторых дорогах было введено одностороннее движение. На следующий год на этих дорогах было восстановлено двустороннее движение, а на остальных дорогах введено одностороннее движение. Известно, что в каждый момент ремонта можно было проехать из любой точки города в любую другую. Доказать, что в Никитовке можно ввести одностороннее движение так, что из каждой точки города удастся проехать в любую другую точку.