Олимпиадные задачи из источника «1973 год» для 9 класса - сложность 1-2 с решениями
Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.
Рассматриваются решения уравнения <sup>1</sup>/<sub><i>x</i></sub> + <sup>1</sup>/<sub><i>y</i></sub> = <sup>1</sup>/<sub><i>p</i></sub> (<i>p</i> > 1), где <i>x, y</i> и <i>p</i> – натуральные числа. Докажите, что если <i>p</i> – простое число, то уравнение имеет ровно три решения; если <i>p</i> – составное, то решений больше трёх ((<i>a, b</i>) и (<i>b, a</i>) – различные решения, если <i>a ≠ b</i>).
Пусть на плоскости есть пять точек общего положения, то есть никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что среди этих точек есть две такие, что они лежат по разные стороны от окружности, проходящей через оставшиеся три точки.
Может ли число, состоящее из шестисот шестёрок и некоторого количества нулей, быть квадратом целого числа?
На каждой стороне параллелограмма взято по точке. Площадь четырёхугольника с вершинами в этих точках равна половине площади параллелограмма. Докажите, что хотя бы одна из диагоналей четырёхугольника параллельна одной из сторон параллелограмма.