Олимпиадные задачи из источника «8 класс, 2 тур» - сложность 2-5 с решениями

Имеются две страны: <i>Обычная</i> и <i>Зазеркалье</i>. У каждого города в <i>Обычной</i> стране есть "двойник" в <i>Зазеркалье</i>, и наоборот. Однако если в <i>Обычной</i> стране какие-то два города соединены железной дорогой, то в <i>Зазеркалье</i> эти города не соединены, а каждые два несоединённых в <i>Обычной</i> стране города обязательно соединены железной дорогой в <i>Зазеркалье</i>. В <i>Обычной</i> стране девочка Алиса не может проехать из города <i>A</i> в город <i>B</i>, сделав менее двух пересадок. Доказать, что Алиса в <i>Зазеркалье</i> сможет проехать из любого города в любой другой, сделав не более двух пересадок.

В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:

  а) набор цифр 1234; 3269;   б) вторично набор 1975;   в) набор 8197?

Какое из двух чисел больше:   а)   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_2.gif">   (<i>n</i> двоек) или   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif"> (<i>n</i> − 1  тройка);   б)   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif">   (<i>n</i> троек) или   <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_4.gif">   (<i>n</i> − 1  четвёрка).

В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны120^<tt>o</tt>. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.