Олимпиадные задачи из источника «1975 год» - сложность 2 с решениями
Имеются две страны: <i>Обычная</i> и <i>Зазеркалье</i>. У каждого города в <i>Обычной</i> стране есть "двойник" в <i>Зазеркалье</i>, и наоборот. Однако если в <i>Обычной</i> стране какие-то два города соединены железной дорогой, то в <i>Зазеркалье</i> эти города не соединены, а каждые два несоединённых в <i>Обычной</i> стране города обязательно соединены железной дорогой в <i>Зазеркалье</i>. В <i>Обычной</i> стране девочка Алиса не может проехать из города <i>A</i> в город <i>B</i>, сделав менее двух пересадок. Доказать, что Алиса в <i>Зазеркалье</i> сможет проехать из любого города в любой другой, сделав не более двух пересадок.
Какое из двух чисел больше: а) <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_2.gif"> (<i>n</i> двоек) или <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif"> (<i>n</i> − 1 тройка); б) <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_3.gif"> (<i>n</i> троек) или <img src="/storage/problem-media/79303/problem_79303_img_4.gif"> (<i>n</i> − 1 четвёрка).
В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны120<sup><tt>o</tt></sup>. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.
Какое из двух чисел больше: а) <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_2.gif"> (100 двоек) или <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_3.gif"> (99 троек); б) <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_3.gif"> (100 троек) или <img src="/storage/problem-media/79299/problem_79299_img_4.gif"> (99 четвёрок).
На шахматной доске размером 8×8 отмечены 64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить все точки друг от друга, проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?
Натуральные числа <i>a, b, c</i> таковы, что числа <i>p = b<sup>c</sup> + a, q = a<sup>b</sup> + c, r = c<sup>a</sup> + b</i> простые. Доказать, что два из чисел <i>p, q, r</i> равны между собой.
Точка<i>A</i>расположена на расстоянии 50 см от центра круга радиуса 1 см. Разрешается точку<i>A</i>отразить симметрично относительно произвольной прямой, пересекающей круг; полученную точку отразить симметрично относительно любой прямой, пересекающей круг, и т.д. Доказать, что: а) за 25 отражений точку<i>A</i>можно переместить внутрь круга; б) за 24 отражения этого сделать нельзя.
Найти все действительные решения уравнения с четырьмя неизвестными: <i>x</i>² + <i>y</i>² + <i>z</i>² + <i>t</i>² = <i>x</i>(<i>y + z + t</i>).