Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 1 тур» - сложность 2-3 с решениями
10 класс, 1 тур
НазадКаждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа <i>k</i> имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на <i>k</i>.
Последовательность натуральных чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} строится по следующему правилу: <i>x</i><sub>1</sub> = 2, <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = [1,5<i>x<sub>n</sub></i>]. Доказать, что в последовательности {<i>x<sub>n</sub></i>} бесконечно много
а) нечётных чисел;
б) чётных чисел.