Олимпиадные задачи из источника «10 класс, 2 тур»
10 класс, 2 тур
НазадПоследовательность натуральных чисел {<i>x<sub>n</sub></i>} строится по следующему правилу: <i>x</i><sub>1</sub> = 2, ..., <i>x<sub>n</sub></i> = [1,5<i>x</i><sub><i>n</i>–1</sub>].
Доказать, что последовательность <i>y<sub>n</sub></i> = (–1)<i><sup>x<sub>n</sub></sup></i> непериодическая.
Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?
Дан многочлен <i>P</i>(<i>x</i>) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального <i>x</i> выполняется неравенство <i>P</i>(<i>x</i>) > <i>x</i>. Определим последовательность {<i>b<sub>n</sub></i>} следующим образом: <i>b</i><sub>1</sub> = 1, <i>b</i><sub><i>k</i>+1</sub> = <i>P</i>(<i>b<sub>k</sub></i>) для <i>k</i> ≥ 1. Известно, что для любого натурального <i>d</i> найдется член последовательности {<i>b<sub>n</sub></i>}, делящийся на <i>d</i>. Докажите, что <i>P</i>(<i>x</i>) = <i>x</i>...
Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух <i>a</i> и <i>b</i> из них сумма <i>a + b</i> делится на разность <i>a − b</i>?
В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.