Олимпиадные задачи из источника «7 класс, 2 тур» для 5-9 класса - сложность 2-5 с решениями

Найти наименьшее<i>n</i>такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения<i>n</i>треугольников. Докажите, что для меньших<i>n</i>это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, для которых выполняется равенство<i>a</i>¹⁵+<i>b</i>¹⁵=<i>c</i>¹⁶.

Куб 3×3×3 составлен из 14 белых и 13 чёрных кубиков со стороной

1. <i>Столбик</i> – это три кубика, стоящих рядом вдоль одного направления: ширины, длины или высоты. Может ли быть так, что в каждом столбике

  а) нечётное количество белых кубиков?

  б) нечётное количество чёрных кубиков?

В каждой вершине выпуклого<i>k</i>-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке<i>O</i>внутри этого<i>k</i>-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме<i>O</i>, обладающей указанным свойством.