Олимпиадные задачи из источника «1977 год» для 2-9 класса - сложность 2 с решениями

Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, для которых выполняется равенство<i>a</i>¹⁵+<i>b</i>¹⁵=<i>c</i>¹⁶.

Куб 3×3×3 составлен из 14 белых и 13 чёрных кубиков со стороной

1. <i>Столбик</i> – это три кубика, стоящих рядом вдоль одного направления: ширины, длины или высоты. Может ли быть так, что в каждом столбике

  а) нечётное количество белых кубиков?

  б) нечётное количество чёрных кубиков?

В каждой вершине выпуклого<i>k</i>-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке<i>O</i>внутри этого<i>k</i>-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме<i>O</i>, обладающей указанным свойством.

Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа <i>k</i> имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на <i>k</i>.