Олимпиадные задачи из источника «1977 год» для 9 класса - сложность 2 с решениями
Докажите, что можно найти более тысячи троек натуральных чисел<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>, для которых выполняется равенство<i>a</i><sup>15</sup>+<i>b</i><sup>15</sup>=<i>c</i><sup>16</sup>.
В каждой вершине выпуклого<i>k</i>-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке<i>O</i>внутри этого<i>k</i>-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме<i>O</i>, обладающей указанным свойством.
Каждая точка числовой оси, координата которой – целое число, покрашена либо в красный, либо в синий цвет. Доказать, что найдётся цвет со следующим свойством: для каждого натурального числа <i>k</i> имеется бесконечно много точек этого цвета, координаты которых делятся на <i>k</i>.