Олимпиадные задачи из источника «10 класс»
10 класс
НазадСм. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/179385">179385</a> в) и г).
На пульте имеется несколько кнопок, с помощью которых осуществляется управление световым табло. После нажатия любой кнопки некоторые лампочки на табло переключаются (для каждой кнопки есть свой набор лампочек, причём наборы могут пересекаться). Доказать, что число состояний, в которых может находиться табло, равно некоторой степени числа 2.
<i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> ≤ 10<i>a<sub>n</sub></i> при всех натуральных <i>n</i>.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,<i>a</i><sub>1</sub><i>a</i><sub>2</sub><i>a</i><sub>3</sub>..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.