Олимпиадные задачи из источника «1982 год» - сложность 3 с решениями
Найти все такие натуральные <i>n</i>, для которых числа <sup>1</sup>/<sub><i>n</i></sub> и <sup>1</sup>/<sub><i>n</i>+1</sub> выражаются конечными десятичными дробями.
Петя приобрёл в магазине "Машины Тьюринга и другие вычислительные устройства" микрокалькулятор, который может по любым действительным числам <i>x</i> и <i>y</i> вычислить <i>xy + x + y</i> + 1 и не имеет других операций. Петя хочет написать "программу" для вычисления многочлена 1 + <i>x + x</i>² + ... + <i>x</i><sup>1982</sup>. Под "программой" он понимает такую последовательность многочленов <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f<sub>n</sub></i>(<i>x</i>), что <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>x</i> и для любого <i>i</i> = 2, ..., <i>n&l...
В выпуклом четырёхугольнике две стороны равны 1, а другие стороны и обе диагонали не больше 1. Какое максимальное значение может принимать периметр четырёхугольника?
На плоскости отмечены точки с целочисленными координатами. Доказать, что найдётся окружность, внутри которой лежат ровно 1982 отмеченные точки.
Считая известной формулу <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79414/problem_79414_img_2.gif"> доказать, что для различных натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i> справедливо неравенство <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79414/problem_79414_img_3.gif"> Возможно ли равенство для каких-нибудь различных натуральных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>?
Упростить выражение <img width="188" height="49" align="MIDDLE" border="0" src="/storage/problem-media/79410/problem_79410_img_2.gif">.
Какое наименьшее количество точек на плоскости надо взять, чтобы среди попарных расстояний между ними встретились числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64?