Олимпиадные задачи из источника «9 класс» - сложность 2-3 с решениями

Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.

Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).

Доказать, что  1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³  делится на  1 + ... + 1983.

Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга. Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой внутри окружности радиуса 5.

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней <i>x</i> выполнено неравенство

<i>x</i>^2<i>n</i> ± <i>x</i>^{2<i>n</i>–1} + <i>x</i>^{2<i>n</i>–2} ± <i>x</i>^{2<i>n</i>–3} + ... + <i>x</i>⁴ ± <i>x</i>³ + <i>x</i>² ± <i>x</i> + 1 > ½  (<i>x</i> – произвольное действительное число, а <i>n</i> – натуральное).