Олимпиадные задачи из источника «1983 год» для 10 класса - сложность 2-3 с решениями
За круглым столом сидят 13 богатырей из <i>k</i> городов, где 1 < <i>k</i> < 13. Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже <i>k</i>. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.
На доске после занятия осталась запись:
"Вычислить <i>t</i>(0) − <i>t</i>(<sup>π</sup>/<sub>5</sub>) + <i>t</i>(<sup>2π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>3π</sup>/<sub>5</sub>) + ... + <i>t</i>(<sup>8π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>9π</sup>/<sub>5</sub>), где <i>t</i>(<i>x</i>) = cos5<i>x</i> + *cos4<i>x</i> + *cos3<i>x</i> + *cos2<i>x</i> + *cos<i>x</i> + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вм...
Доказать, что 4<sup><i>m</i></sup> − 4<sup><i>n</i></sup> делится на 3<sup><i>k</i>+1</sup> тогда и только тогда, когда <i>m − n</i> делится на 3<sup><i>k</i></sup>.
Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.
Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).
Доказать, что 1<sup>1983</sup> + 2<sup>1983</sup> + ... + 1983<sup>1983</sup> делится на 1 + ... + 1983.
Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга. Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой внутри окружности радиуса 5.
Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней <i>x</i> выполнено неравенство
<i>x</i><sup>2<i>n</i></sup> ± <i>x</i><sup>2<i>n</i>–1</sup> + <i>x</i><sup>2<i>n</i>–2</sup> ± <i>x</i><sup>2<i>n</i>–3</sup> + ... + <i>x</i><sup>4</sup> ± <i>x</i>³ + <i>x</i>² ± <i>x</i> + 1 > ½ (<i>x</i> – произвольное действительное число, а <i>n</i> – натуральное).
Dписанная окружность треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>C</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub> соответственно. Известно, что <i>AA</i><sub>1</sub> = <i>BB</i><sub>1</sub> = <i>CC</i><sub>1</sub>. Докажите, что треугольник <i>ABC</i> правильный.