Олимпиадные задачи из источника «8 класс»
8 класс
НазадНа окружности выбрано пять точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub>, <i>H</i>. Обозначим через <i>h<sub>ij</sub></i> расстояние от точки <i>H</i> до прямой <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub></i>. Доказать, что <i>h</i><sub>12</sub><i>h</i><sub>34</sub> = <i>h</i><sub>14</sub><i>h</i><sub>23</sub>.
В вершинах правильного 1983-угольника расставлены числа 1, 2, ..., 1983. Любая его ось симметрии делит числа, не лежащие на ней, на два множества. Назовём расстановку "хорошей" относительно данной оси симметрии, если каждое число одного множества больше симметричного ему числа. Существует ли расстановка, являющаяся "хорошей" относительно <i>любой</i> оси симметрии?
Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?
На сторонах треугольника<i>ABC</i>вне его построены правильные треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>,<i>BCA</i><sub>1</sub>и<i>CAB</i><sub>1</sub>. Доказать, что$\overrightarrow{AA_1}$+$\overrightarrow{BB_1}$+$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{0}$.
Доказать, что при любых <i>x</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif"> и <i>y</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif"> выполняется неравенство <i>x</i><sup>4</sup> – <i>x</i>³<i>y</i> + <i>x</i>²<i>y</i>² – <i>xy</i>³ + <i>y</i><sup>4</sup> > <i>x</i>² + <i>y</i>².