Олимпиадные задачи из источника «8 класс» - сложность 2 с решениями
8 класс
НазадНа окружности выбрано пять точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>4</sub>, <i>H</i>. Обозначим через <i>h<sub>ij</sub></i> расстояние от точки <i>H</i> до прямой <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub></i>. Доказать, что <i>h</i><sub>12</sub><i>h</i><sub>34</sub> = <i>h</i><sub>14</sub><i>h</i><sub>23</sub>.
Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?
На сторонах треугольника<i>ABC</i>вне его построены правильные треугольники<i>ABC</i><sub>1</sub>,<i>BCA</i><sub>1</sub>и<i>CAB</i><sub>1</sub>. Доказать, что$\overrightarrow{AA_1}$+$\overrightarrow{BB_1}$+$\overrightarrow{CC_1}$=$\overrightarrow{0}$.
Доказать, что при любых <i>x</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif"> и <i>y</i> > <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/79430/problem_79430_img_2.gif"> выполняется неравенство <i>x</i><sup>4</sup> – <i>x</i>³<i>y</i> + <i>x</i>²<i>y</i>² – <i>xy</i>³ + <i>y</i><sup>4</sup> > <i>x</i>² + <i>y</i>².