Олимпиадные задачи из источника «1983 год» для 11 класса - сложность 2-5 с решениями
В пространстве расположены 2<i>n</i> точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены <i>n</i>² + 1 отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
а) хотя бы один треугольник;
б) не менее <i>n</i> треугольников.
На доске после занятия осталась запись:
"Вычислить <i>t</i>(0) − <i>t</i>(<sup>π</sup>/<sub>5</sub>) + <i>t</i>(<sup>2π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>3π</sup>/<sub>5</sub>) + ... + <i>t</i>(<sup>8π</sup>/<sub>5</sub>) − <i>t</i>(<sup>9π</sup>/<sub>5</sub>), где <i>t</i>(<i>x</i>) = cos5<i>x</i> + *cos4<i>x</i> + *cos3<i>x</i> + *cos2<i>x</i> + *cos<i>x</i> + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вм...
Доказать, что 4<sup><i>m</i></sup> − 4<sup><i>n</i></sup> делится на 3<sup><i>k</i>+1</sup> тогда и только тогда, когда <i>m − n</i> делится на 3<sup><i>k</i></sup>.