Олимпиадные задачи из источника «1984 год» для 9 класса - сложность 1-3 с решениями

Решите в целых числах уравнение  19<i>x</i>³ − 84<i>y</i>² = 1984.

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.

Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Является ли чётным число всех 64-значных натуральных чисел, не содержащих в записи нулей и делящихся на 101?

Сумма пяти неотрицательных чисел равна единице.

Докажите, что их можно расставить по кругу так, что сумма всех пяти попарных произведений соседних чисел будет не больше &frac15;.

Докажите, что сумма расстояний от центра правильного семиугольника до всех его вершин меньше, чем сумма расстояний до них от любой другой точки.

Каждые две из шести ЭВМ соединены своим проводом. Укажите, как раскрасить каждый из этих проводов в один из пяти цветов так, чтобы из каждой ЭВМ выходило пять проводов разного цвета.

Решите уравнение${\frac{x^3}{\sqrt{4-x^2}}}$+<i>x</i>²- 4 = 0.

Дорожки в зоопарке образуют равносторонний треугольник, в котором проведены средние линии. Из клетки сбежала обезьянка. Её ловят два сторожа. Смогут ли они поймать обезьянку, если все трое будут бегать только по дорожкам, скорость обезьянки и скорости сторожей равны и они видят друг друга?