Олимпиадные задачи из источника «1986 год» для 8 класса - сложность 3-4 с решениями

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.

Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Решите систему неравенств

    |<i>x</i>| < |<i>y – z + t</i>|,

    |<i>y</i>| < |<i>x – z + t</i>|,

    |<i>z</i>| < |<i>x – y + t</i>|,

    |<i>t</i>| < |<i>x – y + z</i>|.

Докажите, что система неравенств

    |<i>x</i>| > |<i>y – z + t</i>|,

    |<i>y</i>| > |<i>x – z + t</i>|,

    |<i>z</i>| > |<i>x – y + t</i>|,

    |<i>t</i>| > |<i>x – y + z</i>|

не имеет решений.

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.

Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.