Олимпиадные задачи из источника «1988 год» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями
Существует ли на координатной плоскости прямая, относительно которой симметричен график функции<i>y</i>= 2<sup>x</sup>?
Пусть <i>x</i> и <i>y</i> – натуральные числа. Рассмотрим функцию <i>f</i>(<i>x, y</i>) = ½ (<i>x + y</i> – 1)(<i>x + y</i> – 2) + <i>y</i>. Докажите, что множеством значений этой функции являются все натуральные числа, причём для любого натурального <i>i = f</i>(<i>x, y</i>) числа <i>x</i> и <i>y</i> определяются однозначно.
На плоскости даны две перпендикулярные прямые. С помощью кронциркуля укажите на плоскости три точки, являющиеся вершинами равностороннего треугольника. Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах у него две иголки. Он позволяет переносить одинаковые расстояния, но не позволяет рисовать (процарапывать) окружности, дуги окружностей и делать засечки.
Докажите, что при простых <i>p<sub>i</sub></i> ≥ 5, <i>i</i> = 1, 2, ..., 24, число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/79534/problem_79534_img_2.gif"> делится нацело на 24.
Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами.
Докажите, что произведение этих чисел не может оканчиваться на 1988.