Олимпиадные задачи из источника «1989 год» для 10 класса - сложность 1-3 с решениями
Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AB, BC</i> и <i>AC</i> взяты соответственно точки <i>M, K</i> и <i>L</i> так, что прямая <i>MK</i> параллельна прямой <i>AC</i> и <i>ML</i> параллельна <i>BC</i>. При этом отрезок <i>BL</i> пересекает отрезок <i>MK</i> в точке <i>P</i>, а <i>AK</i> пересекает <i>ML</i> в точке <i>Q</i>. Докажите, что отрезки <i>PQ</i> и <i>AB</i> параллельны.
В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.
Все значения квадратного трёхчлена <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> на отрезке [0, 1] по модулю не превосходят 1.
Какое наибольшее значение при этом может иметь величина |<i>a| + |b| + |c</i>|?
Решите уравнение<div align="CENTER"> (<i>x</i><sup>2</sup> + <i>x</i>)<sup>2</sup> + $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ = 0. </div>