Олимпиадные задачи из источника «1989 год» для 11 класса - сложность 1-5 с решениями
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Существует ли функция, график которой на координатной плоскости имеет общую точку с любой прямой?
Найдите все положительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x</i><sub>10</sub>, удовлетворяющие при всех <i>k</i> = 1, 2,..., 10 условию (<i>x</i><sub>1</sub> + ... + <i>x<sub>k</sub></i>)(<i>x<sub>k</sub> + ... + x</i><sub>10</sub>) = 1.
В пространстве имеются четыре различные прямые, окрашенные в два цвета: две красные и две синие, причём любая красная прямая перпендикулярна любой синей прямой. Докажите, что либо красные, либо синие прямые параллельны.